Continued social choice theory intro

choix-social-intro/main.typ

@@ -3,6 +3,8 @@
 #set heading(numbering: "1.")
 
 #let example = thmplain("example", "Exemple")
+#let theorem = thmplain("theorem", "Théorème")
+#let definition = thmplain("definition", "Définition")
 
 #align(center, text(17pt)[*Introduction à la théorie du choix social*])
 
@@ -15,7 +17,11 @@
 - différencier deux processus de vote;
 - critiquer un processus de vote.
 
-= Que veut dire voter ?
+= Introduction
+
+== Que veut dire voter ?
+
+// Faire une introduction un peu plus générale
 
 #example[Vote a deux options][
 	Une assemblée de 17 personnes veut décider si elle se réunira ou bien le Jeudi
@@ -28,21 +34,32 @@
 	groupe se réunira le Jeudi. Sinon le groupe se réunira le Vendredi.
 ]
 
-#example[Vote a troix options][Et alors?]
+#example[Vote a troix options][
+	Le protocole précédent ne fonctionne plus, il en faut un autre. Nous verrons
+	par la suite un protocole qui peut s'appliquer sur un nombre arbitraire de
+	choix.
+]
 
 Aggrégation d'opinions parmi un choix défini d'options. Un vote peut être
-paramétré par
+paramétré par (liste non exhaustive)
 - le nombre d'options que chaque votant·e peut choisir
 - l'information que chaque votant·e donne sur chaque option
 - le nombre de fois que les votant·es s'expriment
 
-= Pourquoi étudier le vote: nos systèmes sont irrationels
+== Pourquoi étudier les systèmes de vote ?
+
+= Méthode de Condorcet
+
+
+// Méthode simple, mais
+// - paradoxe de Condorcet
+// - lourd à mettre en œuvre.
 
 #example[Élection présidentielle de 2007][
 	On s'intéressera ici aux candidat·es Ségolène Royal, François Bayrou et
 	Nicolas Sarkozy de l'élection présidentielle française de 2007.
 
-	Le résultat du premier tours sont reportés en @election2007fr.
+	Le résultat du premier tours sont reportés en @resultats-election2007fr.
 	On y voit que François Bayrou est éliminé dès le premier tour puisqu'il a
 	moins de voix que Ségolène Royal, et moins de voix que Nicolas Sarkozy.
 
@@ -59,7 +76,7 @@ paramétré par
 			Résultats de la présidentielle de 2007 en pourcentage
 			des suffrages exprimés @cctour1 @cctour2.
 		]
-	) <election2007fr>
+	) <resultats-election2007fr>
 
 	Néanmoins, si on organise des duels, à savoir des simulations de second tour,
 	le résultat est différent:
@@ -68,16 +85,80 @@ paramétré par
 
 	En conclusion, les électeurices préfèrent Bayrou à Royal et préfèrent Bayrou
 	à Sarkozy, mais le système de vote français désigne Nicolas Sarkozy comme vainqueur.
+] <election2007fr>
+
+
+= Le théorème d'impossibilité d'Arrow
+
+// Donner les hypothèses ici sur la fonction d'aggrégation
+
+#definition[Principe de Pareto faible][
+	Si tous les individus préfèrent strictement l'option $x$ à l'option $y$,
+	alors le protocole doit favoriser strictement $x$ à $y$.
+] <weak-pareto>
+
+#definition[Indépendance aux alternatives impertinentes][
+	La préférence aggrégée entre deux alternatives ne dépend pas du placement
+	des autres alternatives.
+] <independance-irrelevance>
+
+#definition[Non dictature][
+	Il n'existe pas d'individu qui détermine à lui seul l'issue du vote.
+] <non-dictatorship>
+
+#example[Dictature][
+	Plaçons nous dans une société à $n > 2$ individus, dont un s'appelant Zéro.
+	Ces individus doivent choisir quelque chose. Si lors des votes seul le choix
+	de Zéro est pris en compte, alors Zéro est un·e dictateurice.
+]
+
+#theorem[Arrow impossibility theorem][
+	Pour un nombre fini d'individu et au moins trois choix, il n'existe pas
+	d'aggrégation qui respecte les conditions @weak-pareto,
+	@independance-irrelevance et @non-dictatorship.
 ]
 
-// Rapide présentation de la méthode de Condorcet
 
-= Le théorème d'impossibilité d'Arrow: Bayrou et le dictateur
+= Vote par consentement ou pouvoir de véto
 
-= La méthode de Condorcet
+// Ce qui est fait à XR
 
 = La méthode de Borda: vote pondéré
 
-= Chez XR ?
+= Ouverture: utilitarianisme
+
+#example[Des vacances en France][]
+
+// Ouverture sur l'utilitarisme, ou en tout cas la prise en compte de l'écart
+// de préférence entre les choix. Cela brise l'indépendance des alternatives
+// indépendantes, mais de manière voulue.
+// Par exemple: choix d'une destination de vacances entre personnes habitant à
+// différents endroits en France. Mettons 4 personnes,
+// - 3 habitent à Toulouse, notées t1, t2 et t3 et
+// - une à Paris notée p.
+// Trois lieux possibles,
+// - Nîmes
+// - Bordeaux
+// - Cerbere
+// Les Toulousain·es partent en voiture, toutes les destinations sont peu ou
+// proues égales en temps de trajet. Leur préférences vont donc principalement
+// s'indexer sur le confort et le cadre de la résidence.
+// Læ parisien·ne se déplace en train et accède donc à Nîmes et Bordeaux en un
+// temps raisonnable, mais Cerbere est bien plus loin (6h30 de trajet).
+//
+// Si la résidence de Cerbere est "légèrement" mieux les trois Toulousain·es
+// voteront pour elle, mais sans préférence très marquée. Par contre læ
+// Parisien·ne préférera fortement Nîmes ou Bordeaux à Cerbere, mais cette
+// différence de préférence n'est pas prise en compte dans les protocoles
+// ordinaux. En conclusion, si on évalue un "contentement" des participant·es,
+// un protocole ordinal contentera les Toulousain·es mais læ Parisien·ne sera
+// mécontent·e. Un protocole utilitariste veillera à maximiser le contentement
+// global et prendra en compte le mécontententement de læ Parisien·ne dans le
+// résultat final.
+//
+// Pour fonctionner, une telle méthode nécessite de pouvoir comparer les
+// différences d'utilité interpersonnelles. On va donc comparer e.g. la
+// différence d'utilité entre Bordeaux et Cerbere de l'individu x avec la même
+// différence de l'individu y.
 
 #bibliography("bib.yml")